在上一章的探索中我们看到音乐是宇宙缩影，其中一个很重要的现象就是音高的频谱循环可以一直翻倍上升，无穷无尽，到无穷大∞；同时音高也可以越来越低一直减倍降音，同样无穷无尽，直到无穷小，1/∞，但永远达不到零。 

首先，在我们的感知里，每一个音高的八度循环，也就是振动频率的两倍循环，都是一个完整的周期，在一个平面上。在音乐中，当我们从Do、Re、Mi开始唱，一种到回到高八度的Do的时候，我们完成了一个完整完美的周期，在我们的感觉上是非常的愉快而简单。这个感觉如同一个彭罗斯阶梯，我们每一个音阶往上走，最后又回到了原点，如图2.1的左部所示的彭罗斯阶梯一样。我们走了一个循环回到原点，再走一个循环又回到原点，不停的绕圈，每个圈感觉都是一模一样的，好像回到原地踏步的感觉，并且我们计算起数字来也很简单。

但其实彭罗斯阶梯只是一种错觉，我们并非原地踏步，而是越走越高了， 只是规律上重复而已。当我们跳出这个周期，到垂直的维度，也就是周期的侧面来看时，发现我们事实上我们在攀登一个螺旋形的阶梯，如图2.1的右部所展示。这个螺旋阶梯是有方向的，正向的可以一直向前向上到无穷大，反向的可以一直往下往后到无穷小，两侧都没有尽头。我们所处的空间和时间的维度其实也是这个道理：如果我们有一天能够跳到时间维度的外面，而不是蜗居在时间维度里，我们也能看到时间的真实结构。

 

图2.1音阶的循环感与无穷尽

这里有一个非常重要的违背我们常识的现象，那就是我们沿着螺旋阶梯往下走，会走到哪里？通常我们以为，一往下走就是零了，如同掰指头数数一样简单： 2、1、0; 二与零是以一为中轴对称的，没什么特别的地方。然而这是一个欺骗了几乎所有人的错觉；注意当我们沿着这个音阶的螺旋阶梯往下走的时候，台阶是无穷尽的，1/2、1/4、1/8,……, 我们永远走不到零！ 或者说，在自然界，根本就不存在零这个东西！零只是我们头脑里的错觉。

宇宙无零，这是一个很重要的事情：在宇宙自然界里，只有无穷小，没有零的存在。这个在物理学的研究里，越来越被大家所认识到。我们曾经以为的外太空的真空，是真的一无所有， 然而我们错了，在真空的空间里，是一个无比热闹的世界， 有着复杂的真空涨落和我们还不能观测到的高能振动，比如弦理论里所设想的弦的各种振动。 我们还不能确定真空里到底是什么样的振动和存在，但我们可以确定宇宙中没有真正的啥都没有的真空，也就是没有一个真正的零的地方，这是我们要扭转的宇宙观念。

好了，当我们把零给封杀了之后，我们眼前只有无穷小和无穷大，分别在上下两个方向上。然而，这两尊大神都不是我们人类可以理解的。 不管是我们有限的人脑，还是未来我们的超级计算机，都无法真正呈现无穷大和无穷小，因为我们是有限的。不管我们计算机科技发展到哪一步，假如写出一个天大的数字，都可以在其上加一得到一个更大的数，也就自毁了这个天大的数的限制。 总而言之，有限空间里的人类是无法真正理解和驾驭无穷的。这就是为什么我们看到的宇宙只能是真正宇宙的一个缩影和印象。

幸好的是，我们可以掌握关于无穷的一些规律，这是我们人类历代伟大的数学家们集体智慧的结晶。至少，像瞎子摸象一样，瞎子可以摸到大象的一部分，可以部分的了解大象来推测整个大象的样子。当然，这中间会闹不少错觉和笑话，如同有的瞎子觉得大象像墙，有的觉得大象像扇子，有的觉得大象像柱子一样，我们的认知宇宙也会是片面的，但认知在探索的过程会逐步逐步的丰富和准确起来，所有我们对自己以往假定的常识和真理既不要太过于固执偏见，亦不要妄自菲薄。

我们从1开始，沿着螺旋阶梯往上走八度循环N次， 音高就是2^N倍，音高按指数式上涨，但同时相应的振动波长则按指数式变小；相反方向往下走八度循环-N次，音高就是1/2^N倍，音高按指数式下降，但同时相应的振动波长则按指数式变大，如图2.2所示。 首先，我们可以发现上与下两个方向存在对称关系，向上我们趋向无穷大的音高及无穷小的波长，往下我们趋向无穷小的音高及无穷大的波长，两侧是镜像的，两侧都走不到边际；无穷大的倒数就是无穷小，两者对称又共存着。其次，我们猜测，无穷大和无穷小在我们无法达到的领域里，以某种方式是相通的，形成一个无穷的闭循环。

我们无法真正掌握无穷领域的世界，因为我们人类的算力是有限的。如果有一百个球在人眼前跳动，人脑根本不可能跟踪每一个球，只能采用大概估计的经验而形成一些常识；哪怕依赖计算机的辅助，人类对于无穷的理解只能猜测和掌握一些大概。我们只能通过天才数学家发现得部分规律对我无穷世界可以惊鸿一瞥。比如十八世纪初的天才的数学家欧拉发现的这个计算，让我们跌破眼镜，打破常识：1+2+3+……+∞ = ？ 答案是正数还是负数？

绝大部分人的常识会马上给出反应：无穷个正数累加在一起结果应该是无穷大吧，嗯，答案至少是个正数。然而，答案既不是无穷大，也不是正数；答案是一个有限数，而且是负的！ 1+2+3+……+∞ = -1/12。真的，我们人类在无穷面前真的是太渺小，人类的理解力太井底之蛙了。

我们常说蚂蚁与大象相比是很小的，但比大象大的有蓝鲸，比蓝鲸大的有航空母舰，比航空母舰大的有地球，比地球大的有太阳，比太阳大的有星团，比星团大的有星系，比星系大的有星系群，比星系群大的是物质宇宙，比物质宇宙还大的才是无穷！我们有限的思考力在无穷的面前真的是非常非常的渺小。在无穷领域内的运算是无限可能又无限的精妙，只是超越了我们思维能掌控的范畴；在无穷的领域是一个真正的数字宇宙。 

假想我们在无穷的音阶螺旋阶梯上，从第1个八度，跳到第2个八度，然后第3个八度,……,一直到无穷大的八度，并一路上把1，2，3，.…..，∞加起来，结果我们发现我们得到的结果是走回原地并倒退了一格，就是-1/12，等于十二平均律里一个半音音阶的距离。在无穷的世界里，我们是可以以神奇的方式循环的。在有限世界的音乐振动中，每走十二个半音音阶，我们完成一个八度循环，也就是音高频率翻倍；在无穷的世界里，我们一样可以循环，历尽无穷可以返回到有限的循环里。可以说，循环是数字世界的基础。

所有的自然数相加，是一个神奇函数，黎曼Zeta函数ζ(s)的特殊情况，也就是s=-1的值。Zeta函数是由欧拉先发现，由黎曼通用化而得到的，它的表现形式是：

 

Zeta函数非常神奇，它的几个特殊值都非常惊人，都会颠覆我们的世界观，如下我们简单列举一下；如果要了解Zeta函数更详细的计算请参考本书的附录。

ζ(-1)=1+2+3+…… = -1/12;

ζ (0) =1+1+1+…… = -1/2;

ζ (1) =1+1/2+1/3+…… = ∞;

ζ (2) =1+1/2²+1/3²+…… = π²/6;

我们对ζ(-1)=1+2+3+……+∞ = -1/12稍作变化，两边都乘以二，得到2+4+6+……+∞=-1/6，这是所有偶数的和；然后把第一个等式减去第二个等式我们就可以得到：1+3+5+……=1/12，这是所有奇数的和。可见所有奇数之和是正的，所有偶数之和是负的：这也可以帮助我们理解为什么在中国古代奇数也称为阳数，偶数也称为阴数。所有奇数之和的结果是往前走一个半音音阶，所有偶数之和的结果是往后退两个半音音阶；一进二退，总的效果，也就是所有自然数之和的结果是往后退一个半音音阶。重复这个过程，就实现了一种无穷循环和有限循环的共生循环。

无穷和有限在圆周循环里是统一的，神奇的圆周循环是数字宇宙中最基本的构成元素。ζ (2)= π²/6就代表了一个圆。一个无穷大的圆就是我们坐标系中X轴：一根直线跟一个无穷的圆是相同的。这个可以计算出来，比如我们假如在X轴上每个整数坐标的位置放了一盏灯，我们在零坐标点接收到坐标轴上所有无穷盏灯照过来的光的总和怎么算？这个计算结果就等同于ζ (2)函数，结果却等于圆周率的平方除以6。可见，无穷大的直线和无穷大的圆是相同的。

我们可以看出，有限的数字1是无穷大和无穷小的中间点，而且，数字1相对于无穷而言也是一个能量低洼点。无穷大，1和无穷小是一种宇宙循环。从物理意义上来看，往左走会通往宏观宇宙的超大尺度，往右走会通往微观世界的超高能量粒子；只有我们肉眼能看到的有限世界，才是宇宙最低能态的显现。有限的物质世界只是无穷数字世界所显现的冰山一角。

冰山的一角常用来形容事物看的见的部分是很小的，看不见的部分才是很大的。当泰坦尼克号的守望者看见冰山的时候，船已经来不及掉头了，因为水下还有更大的一块冰山，水下部分有水上部分看得见的冰山的九倍那么大，所有泰坦尼克号无法避免与水下的冰山相撞而漏水了。类似的道理，我们看得见的有限物质世界，也只是看不到的无穷世界露出来的一点点的片段或角落。

这里我们要介绍一种神奇的数学结构，它把无穷和有限完美的体现在了一起，这就是等角螺旋，也可以称之为指数螺旋。如图2.3中I图所示就是标准的等角螺旋，其特征在于螺线上任意一点的切线与半径之间的夹角ϕ是恒定的。等角螺旋往外是无穷大，往内则永远也不会到达零，所以往内是无穷小；这正如中国古代对太极的描述，“其大无外，其小无内”。可以说，等角螺旋是描述太极的最完美的数学结构。

 

图2.3 螺旋的多种表现形式

等角螺旋的另外一个神奇的特征是其自相似性，也就是说，假如我们把螺旋的中心的很小的一部分取出来，然后放大，放大后跟原来的螺旋是一模一样的。我们在宇宙物理中可以看到这种现象，物理学家拍摄到的微小的夸克的照片跟庞大的星系的照片非常相似，多是螺旋型的。著名物理学家狄拉克很早之前就提出过了宇宙大结构和小结构是相似的猜想，叫大数理论。狄拉克认为宇宙的尺度和原子的尺度，引力和电磁力的尺度都是同比例的，非常相似只是在尺度上有四十个数量级左右的差别。

我们可以感受到和猜测到，等角螺旋是宇宙秩序中最基础的结构因子，在它的基础上可以衍生出各种宇宙秩序和现象。不要忘记了等角螺旋是无限和有限的统一体，我们无法穷尽等角螺旋，因为其大无外其小无内，但是我们可以很容易观测到等角螺旋的有限部分，这就是无穷的一个片段。 另外，无穷可以收敛或者投影，成为我们能理解的有限世界。当等角螺旋的等角ϕ=0的时候，等角螺旋就会演化成直线；直线是无穷尽的，但其有限部分是我们人类大脑所理解的最基础的元素之一。当等角螺旋的等角ϕ=90°的时候，等角螺线就会演化为同心圆（图2.3 III），这也是人类所理解的最基础的元素之一。中国的道家认为太极衍生了万物；在数理上，等角螺旋可以演化万物的数理规律。

我们在日常自然世界中随处可见螺旋形式的存在，不少螺旋型贝壳和花朵的生长形态就展示给了我们自然界递增生长的数学模式。水面上的漩涡，空气中的飓风龙卷风，都展示给我们自然界的基础动力学模式，旋流（图2.3 IV）。 我们在理发店门口，常会看到一个旋转的螺旋滚轴，好像滚轴里的色彩在不停的往上或往下走，这是螺旋体现于直线的一种缩影方式（图2.3 V）；螺丝钉和光都是这种方式的体现，它们在直线上传播力和能量，同时本身又带着旋转波动性。还有一种常见的就是球型的螺旋形式，这与我们生活的三维空间世界有很重要的关系，如图2.3 VI所示，螺旋可以形成三维球空间；电磁场可以以这种方式体现，乃至空间本身，都根源于球形的螺旋场。

我们自己人类本身，包括所有的动植物，所含的生物信息，都是以螺旋型的DNA来记载及传承。 我们第一章所仔细研究的音乐，也是在时间轴上和频率空间里以等角螺旋的方式进行八度递增及和谐律演化的。振动是宇宙中所有的存在的根基，而振动本身也是符合等角螺旋的数理规律。等角螺旋兼容了圆周性和递进性，无穷性和有限性，它是最完美的一种无穷表现形式。

当我们面对无穷时，我们人类的大脑认知只能处理有限的信息，所以我们观察宇宙的时候只能对无穷信息进行信息取样、裁减、加工、判断，从而推断出我们对世界的认知。直线，圆，螺旋等都是无穷投影到有限空间里的印象。在这个信息裁剪和判断的过程中，人脑不可避免的会产生认知变差，其中就包括通用的错觉。在此书中我们会逐步地把人类最常见的错觉列举和阐述。

错觉1 原圈错觉： 我们在原地转圈，其实是在走上升螺旋。在频谱里，数字音律，和时间维度里，我们都会有这种错觉。在音律循环里，我们仔细琢磨就可以向明白这个道理，但在时间维度里我们就很难琢磨了，但我们可以举一反三，寻找内在通用的规律。我们的每年都是重复的，但每年真的都一样吗？不是的，时间是有方向的，我们在一个盘旋上行的时空里，每一年相似但是又不一样。

错觉2: 背景错觉： 零不是啥都没有，其实零是无穷。宇宙是以无穷为背景构成的，而不是无中生有。宇宙真空不是啥都没有，而是一个非常高能及丰富的世界，有剧烈的量子涨落，还有我们尚未了解的高维世界。

错觉3 方向错觉：直线运动只是螺旋正旋或负旋的成像衍生。我们在理发店门口看到的螺旋旋转轴上的色彩运动其实没有真正的直线运动，只是眼睛的错觉；真正的运动是轴的旋转。我们在量子力学里发现旋转是天然自发的，宇宙中只有右旋（即正旋）和左旋（即负旋）两种形式。 经常有人会问：为什么宇宙中右旋多于左旋，上帝是右撇子吗？其实这说明宇宙是有方向的，等角螺旋数学模型天然地包含了方向，正旋是上行，负旋是下行。虽然两个方向都可以走，但我们生活的宇宙的主旋律是上行；换个角度说，造物主的主旋律是让希望我们随着时间演变而上行，进一步接近处于中心无穷的造物主。

错觉4大小错觉：小世界其实很大，大与小是对称共生的。我们感觉原子里是小东西，但其实是一个包含无穷的大世界，也就是“一沙一世界”的说法；大世界和小世界有共性，正如等角螺旋的自相似性；大世界和小世界是共生的，正如大尺度与超高频的对称性，尺度和频率的共生作用关系形成了宇宙。在弦理论研究中，从普朗克尺度往里拓展的小尺度的弦的能量规律与往外拓展的较大尺度的弦的能量规律同样证明了大与小的对称性和相通性。 

老子说“有物混成，先天地生；独立而不改，周行而不殆，可以为天下母，”其中说到原初之物是由无穷混沌中生、独立、圆周循环而永无止境，是什么样的东西能被称为天下之母呢？从本章学习中我们可以清楚地明白，从数学上开，只有等角螺旋能有资格成为构成万物的条件。

等角螺旋从数学可以演变为信息学，从信息可以构建时空和物质。所以老子说的“玄而又玄”的造物之母换成科学语言来说就是等角螺旋构成的信息体。螺旋的日常生活中更便于理解的范例或者名号，可以叫做漩涡。风的漩涡和水的漩涡就是大家能比较直观理解的现实模型了。

老子的太极也是漩涡的一个模型。同样在西方文化中，溯源道上古人时，智者也是知道漩涡对宇宙的重要性的。在英文单词里，“工作”一词Work等同于“漩涡”一词Vork,两词是同源的。为什么呢？因为古人造词的时候知道万物皆源于漩涡、成于漩涡、变于漩涡。物质宇宙的功都是靠漩涡实现，所以造词的时候，工作就是漩涡的动词。

螺旋是时空的根基，物质宇宙万物皆漩涡。物质时空是漩涡构成的、星系是漩涡构建的、恒星是漩涡构建的、行星是漩涡构建的、卫星是漩涡构建的、原子是漩涡构成的、夸克也是漩涡构成的。物理学家抓取的夸克的照片，跟星系的照片竟然非常相似！我们看到的所有宏观物理和微观物理现象都只是不同层级不同大小的漩涡演化而成。

漩涡的数学模型就是等角螺旋，它是无穷与一的统一，是物质宇宙万物的本源模型。本书第一章的音乐规律，讲的是基于螺旋圆周基础上的循环重复以及内分共振，所以有了倍增律和十二均分律；第二章讲的是螺旋的无穷性、相似性和可变性。宇宙正是从无穷演化为有限，进而从一演化出多。

正如老子所说：“无名天地之始，有名万物之母。此两者同出而异名，同谓之玄。玄之又玄，众妙之门。”无名是无穷、无极，有名是有限、有序。它们的统一点就在螺旋之内，有了它，恢弘宇宙之图就能够诞生了。宇宙之图开始的第一步首先是铺设画布，也就是空间。

摘自《数字宇宙》